Teste de Hipótese para a Variância

    Nos último artigo, trabalhamos com o teste de hipótese voltado para os estimadores de Beta, nesse artigo iremos ver como aplicar o método do teste de hipótese voltado para a variância dos erros.

    Assim como no artigo anterior, vamos analisar conforme a abordagem do intervalo de confiança e conforme a abordagem do teste de significância.

    Relembrando o roteiro padrão:

1. Determinar a hipótese nula e a hipótese alternativa.
 2. Fixar um valor de alfa (Erro tipo I).
 
3. Escolher a estatística de teste.
 
4. Determinar o intervalo de rejeição com base no valor do erro tipo I e da estatística de teste.
 5. Calcular a estatística de teste.
 6. Verificar se a estatística de teste está dentro do intervalo de rejeição. Caso a estatística de teste esteja dentro do intervalo de rejeição, rejeite a hipótese nula, caso contrário, não rejeite a hipótese nula.

    Para desenvolver o exemplo, vamos partir da seguinte base de dados:

 

    Que resulta no seguinte modelo: 

    A variância amostral desse modelo é dada por 6.808.

    Antes de calcular na prática, vamos para uma situação para ilustrar com elementos mais práticos. Suponha que o conselho de administração tenha construido três hipóteses sobre o valor da variância populacional do modelo. Um dos administradores supôs que a variância é inferior a 6.000, outro supôs que a variância é superior a 8.000, já outro afirmou que o valor era exatamente igual a 7.000. 

    Para ver se as hipóteses são coerentes, vamos testar as três hipóteses.

    A hipótese alternativa por sua vez pode se apresentar de três maneiras: (1) desigualdade a direita; (2) desigualdade a esquerda e (3) desigualdade bicaudal.

    Essas três hipóteses alternativas que representam a opinião dos três administradores.

    Vamos trabalhar primeiro a hipótese inicial, a de que a variância é inferior a 6.000.

    Esse teste pode ser representado como:

    Esse é um caso desigualdade a esquerda, onde testamos a hipótese nula de que o valor da variância é inferior a um determinado valor.

    Pela abordagem do intervalo de confiança, temos que inicialmente construir um intervalo de confiança para a variância. Como visto em um artigo anterior, esse intervalo é dado por:

 

    Podemos resumir como:


     Partindo disso, podemos dizer que com base no intervalo de confiança, para a = 1%, a = 5% e a = 10% não podemos rejeitar a hipótese nula.

    Entretanto, para a variância esse método é claramente problemático, sendo mais recomendado usar o método do teste de significância. A diferença entre o teste de significância para os estimadores de beta e para a variância reside na característica da distribuição do intervalo de confiança que segue uma distribuição qui-quadrada e não t de student.

    A estatística de teste é dada por:

    Assim como no teste de hipótese para beta, a rejeição da hipótese nula virá do fato da estatística de teste estar dentro do intervalo de aceitação ou o de rejeição.

    O intervalo de rejeição para uma desigualdade a esquerda é sempre dado pela seguinte lógica:

    Para nosso caso em questão, precisamos (1) definir a região de rejeição com base no valor de alfa e dos graus de liberdade e (2) calcular o valor da estatística de teste para verificar a viabilidade da hipótese nula.

    Para alfa = 10% temos:

    Logo:

    Calculando a estatística de teste:

    Como o valor se situa dentro do intervalo de rejeição então rejeitamos a hipótese nula.

    Se testarmos para a = 5% trabalharemos com:


     Resultando nos seguintes intervalos:

    Mantendo-se a decisão de rejeitar a hipótese nula de que a variância seja inferior a 6.000, dado que a estatística de teste ainda se encontra na região de rejeição.

     Para a = 1% temos:


     Resultando em:

 

     Como a estatística de teste se encontra no intervalo de rejeição, então rejeitamos a hipótese nula.

    Com isso, podemos dizer que rejeitamos a hipótese nula para a = 10%, a = 5% e a = 1%.

    Sendo então não muito viável afirmar que a variância populacional é inferior a 6.000.

    Vamos agora testar a hipótese do segundo administrador que afirmou que a variância é superior a 8.000. Trata-se essencialmente de um teste dado por:

    Pela abordagem do intervalo de confiança, partindo de:

 

    Vemos que a hipótese não é rejeitável a nenhum nível de a dado que sempre se encontra dentro do intervalo de confiança para a variância. 

    Vamos agora aplicar a abordagem do teste de significância.

    Trata-se de um teste de desigualdade a direita, nesse tipo de teste trabalhamos com os seguintes intervalos de aceitação e rejeição:

    Já a variável de teste é dada por:

 

     O que resta agora é testar se para os níveis de significância padrão (1%, 5% e 10%) rejeitaremos a hipótese nula ou não.

    Para a = 10% temos os seguintes intervalos:

 

     Resultando então em:

 

     Como o valor da variável de teste se encontra dentro da zona de rejeição então rejeitamos a hipótese nula de que a variância populacional seja superior a 8.000.

    Vamos agora testar a hipótese a nível de 5%, que nos retoma:


    Que consiste em:

    Que nos permite ainda rejeitar a hipótese nula a nível de 5%.

    Por fim, testando para a = 1% temos:


     Resultando em:

    Com isso, mantemos a rejeição a hipótese nula.

    Por fim, podemos resumir que para todos os níveis de significância testados, a hipótese nula é rejeitada. 

    Por fim, vamos testar a última hipótese, a de igualdade dada por:


    Essa hipótese trata-se uma hipótese bilateral que nos exige uma nova formulação.

    Pela abordagem do intervalo de confiança, temos a seguinte tabela:

     Para nenhum nível de significância rejeitamos a hipótese nula, dado que 7.000 se encontra nos três intervalos.

    Pela abordagem do teste de significância, temos uma nova estrutura de intervalos que capturem a característica bicaudal dessa distribuição.

    Esses intervalos são:

    Atenção para o fato de que ao contrário da distribuição t de student a distribuição chi quadrada não é simétrica, o que se faz necessário que o limite inferior seja diferente do limite superior, e não apenas o seu oposto simétrico.

    Tendo em mente isso, podemos em fim testar as hipóteses partindo dos níveis de significância fixados.

    Para a = 10% temos:

    Resultando no seguintes intervalos:


     Como a estatística de teste é dada por:

     Como a variável de teste se encontra dentro do intervalo de aceitação então não rejeitamos a hipótese nula.

    Para a = 5% temos:

    Resultando nos intervalos de:

    Como a estatística de teste está dentro da região de rejeição então não rejeitamos a hipótese nula.

    Para a = 1% temos:

    

    Resultando em:

 

    Seguimos não rejeitando a hipótese nula.

    Por fim, chegamos a conclusão de que das três hipóteses, rejeitamos que a variância seja superior a 8.000, rejeitamos que a variância seja inferior a 6.000, porém, não rejeitamos que a variância seja igual a 7.000.

    A importância de fazer hipóteses sobre a variância é medir a qualidade de um modelo, isso será importante no futuro, quando você for fazer diagnósticos sobre os resultados de um modelo de regressão. 

    Por fim, após aprender a fazer testes de hipóteses referentes aos estimadores de beta e sobre a variância resta tratar do teste ANOVA, um importante instrumento da econometria.

    Mas antes disso, vale abordar uma importante abordagem complementar aos já mencionados métodos do intervalo de confiança e e do teste de significância: a abordagem do p valor (p-value).

   

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Bibliografia:

GUJARATI, Damodar N; PORTER, Dawn C. Basic Econometrics. 5ª Edição. New York. The McGraw-Hill, 2008.
BUSSAB,  Wilton; MORETTIN, Pedro.  Estátistica básica. 5ª Edição. São Paulo. Editora Saraiva, 2004.

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