Nos último artigo, trabalhamos com o teste de hipótese voltado para os estimadores de Beta, nesse artigo iremos ver como aplicar o método do teste de hipótese voltado para a variância dos erros.
Assim como no artigo anterior, vamos analisar conforme a abordagem do intervalo de confiança e conforme a abordagem do teste de significância.
Relembrando o roteiro padrão:
1. Determinar a hipótese nula e a hipótese alternativa.
2. Fixar um valor de alfa (Erro tipo I).
3. Escolher a estatística de teste.
4. Determinar o intervalo de rejeição com base no valor do erro tipo I e da estatística de teste.
5. Calcular a estatística de teste.
6.
Verificar se a estatística de teste está dentro do intervalo de
rejeição. Caso a estatística de teste esteja dentro do intervalo de
rejeição, rejeite a hipótese nula, caso contrário, não rejeite a
hipótese nula.
Para desenvolver o exemplo, vamos partir da seguinte base de dados:
Que resulta no seguinte modelo:
A variância amostral desse modelo é dada por 6.808.
Antes de calcular na prática, vamos para uma situação para ilustrar com elementos mais práticos. Suponha que o conselho de administração tenha construido três hipóteses sobre o valor da variância populacional do modelo. Um dos administradores supôs que a variância é inferior a 6.000, outro supôs que a variância é superior a 8.000, já outro afirmou que o valor era exatamente igual a 7.000.
Para ver se as hipóteses são coerentes, vamos testar as três hipóteses.
A hipótese alternativa por sua vez pode se apresentar de três maneiras: (1) desigualdade a direita; (2) desigualdade a esquerda e (3) desigualdade bicaudal.
Essas três hipóteses alternativas que representam a opinião dos três administradores.
Vamos trabalhar primeiro a hipótese inicial, a de que a variância é inferior a 6.000.
Esse teste pode ser representado como:
Esse é um caso desigualdade a esquerda, onde testamos a hipótese nula de que o valor da variância é inferior a um determinado valor.
Pela abordagem do intervalo de confiança, temos que inicialmente construir um intervalo de confiança para a variância. Como visto em um artigo anterior, esse intervalo é dado por:
Podemos resumir como:
Partindo disso, podemos dizer que com base no intervalo de confiança, para a = 1%, a = 5% e a = 10% não podemos rejeitar a hipótese nula.
Entretanto, para a variância esse método é claramente problemático, sendo mais recomendado usar o método do teste de significância. A diferença entre o teste de significância para os estimadores de beta e para a variância reside na característica da distribuição do intervalo de confiança que segue uma distribuição qui-quadrada e não t de student.
A estatística de teste é dada por:
Assim como no teste de hipótese para beta, a rejeição da hipótese nula virá do fato da estatística de teste estar dentro do intervalo de aceitação ou o de rejeição.
O intervalo de rejeição para uma desigualdade a esquerda é sempre dado pela seguinte lógica:
Para nosso caso em questão, precisamos (1) definir a região de rejeição com base no valor de alfa e dos graus de liberdade e (2) calcular o valor da estatística de teste para verificar a viabilidade da hipótese nula.
Para alfa = 10% temos:
Logo:
Calculando a estatística de teste:
Como o valor se situa dentro do intervalo de rejeição então rejeitamos a hipótese nula.
Se testarmos para a = 5% trabalharemos com:
Resultando nos seguintes intervalos:
Mantendo-se a decisão de rejeitar a hipótese nula de que a variância seja inferior a 6.000, dado que a estatística de teste ainda se encontra na região de rejeição.
Para a = 1% temos:
Resultando em:
Como a estatística de teste se encontra no intervalo de rejeição, então rejeitamos a hipótese nula.
Com isso, podemos dizer que rejeitamos a hipótese nula para a = 10%, a = 5% e a = 1%.
Sendo então não muito viável afirmar que a variância populacional é inferior a 6.000.
Vamos agora testar a hipótese do segundo administrador que afirmou que a variância é superior a 8.000. Trata-se essencialmente de um teste dado por:
Pela abordagem do intervalo de confiança, partindo de:
Vemos que a hipótese não é rejeitável a nenhum nível de a dado que sempre se encontra dentro do intervalo de confiança para a variância.
Vamos agora aplicar a abordagem do teste de significância.
Trata-se de um teste de desigualdade a direita, nesse tipo de teste trabalhamos com os seguintes intervalos de aceitação e rejeição:
Já a variável de teste é dada por:
O que resta agora é testar se para os níveis de significância padrão (1%, 5% e 10%) rejeitaremos a hipótese nula ou não.
Para a = 10% temos os seguintes intervalos:
Resultando então em:
Como o valor da variável de teste se encontra dentro da zona de rejeição então rejeitamos a hipótese nula de que a variância populacional seja superior a 8.000.
Vamos agora testar a hipótese a nível de 5%, que nos retoma:
Que consiste em:
Que nos permite ainda rejeitar a hipótese nula a nível de 5%.
Por fim, testando para a = 1% temos:
Resultando em:
Com isso, mantemos a rejeição a hipótese nula.
Por fim, podemos resumir que para todos os níveis de significância testados, a hipótese nula é rejeitada.
Por fim, vamos testar a última hipótese, a de igualdade dada por:
Essa hipótese trata-se uma hipótese bilateral que nos exige uma nova formulação.
Pela abordagem do intervalo de confiança, temos a seguinte tabela:
Para nenhum nível de significância rejeitamos a hipótese nula, dado que 7.000 se encontra nos três intervalos.
Pela abordagem do teste de significância, temos uma nova estrutura de intervalos que capturem a característica bicaudal dessa distribuição.
Esses intervalos são:
Atenção para o fato de que ao contrário da distribuição t de student a distribuição chi quadrada não é simétrica, o que se faz necessário que o limite inferior seja diferente do limite superior, e não apenas o seu oposto simétrico.
Tendo em mente isso, podemos em fim testar as hipóteses partindo dos níveis de significância fixados.
Para a = 10% temos:
Resultando no seguintes intervalos:
Como a estatística de teste é dada por:
Como a variável de teste se encontra dentro do intervalo de aceitação então não rejeitamos a hipótese nula.
Para a = 5% temos:
Resultando nos intervalos de:
Como a estatística de teste está dentro da região de rejeição então não rejeitamos a hipótese nula.
Para a = 1% temos:
Resultando em:
Seguimos não rejeitando a hipótese nula.
Por fim, chegamos a conclusão de que das três hipóteses, rejeitamos que a variância seja superior a 8.000, rejeitamos que a variância seja inferior a 6.000, porém, não rejeitamos que a variância seja igual a 7.000.
A importância de fazer hipóteses sobre a variância é medir a qualidade de um modelo, isso será importante no futuro, quando você for fazer diagnósticos sobre os resultados de um modelo de regressão.
Por fim, após aprender a fazer testes de hipóteses referentes aos estimadores de beta e sobre a variância resta tratar do teste ANOVA, um importante instrumento da econometria.
Mas antes disso, vale abordar uma importante abordagem complementar aos já mencionados métodos do intervalo de confiança e e do teste de significância: a abordagem do p valor (p-value).
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GUJARATI, Damodar N; PORTER, Dawn C. Basic Econometrics. 5ª Edição. New York. The McGraw-Hill, 2008.
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