Nos artigos anteriores, apresentamos o conceito de intervalo de confiança e ensinamos como calcular o seu valor para os estimadores de beta e para o estimador de variância de um modelo.
Várias vezes foi ressaltado a sua importância para a utilização do instrumental do teste de hipótese, no presente artigo iremos demonstrar alguns aspectos gerais do teste de hipótese e como utilizar esse instrumento.
AVISO: Antes de prosseguir vale alertar que esse artigo exigirá uma base de conhecimento em teoria da estimação, para que seja ainda mais claro o tema aqui trabalhado. Para estudar o tema de maneira mais aprofundada ler o capitulo 10, 11 e 12 do livro Estatística Básica dos autores Bussab e Morettin, a referência completa se encontra na bibliografia.
A ideia do teste de hipótese remete essencialmente ao método científico e mais especialmente o método econométrico. Ao se desenvolver um modelo para analisar a realidade, um cientista deve antes de trabalhar com dados determinar hipóteses a priori que serão testadas no modelo.
Exemplo, se um cientista for analisar a relação entre renda e consumo é natural que ele faça suposições sobre a relação entre essas duas variáveis, essa hipótese pode ser simples como afirmar necessariamente que o parâmetro que relaciona renda e consumo seja maior do que 0 ou um hipótese mais complexa como fixar um valor arbitrário como dizer que a propensão marginal a consumir seja igual a 0,7.
Para testar essas hipóteses determinadas a priori, os estatísticos criaram um método chamado de teste de hipótese, um conjunto de método e procedimentos que podem demonstrar se uma hipótese é ou não compatível com os dados obtidos.
Para melhor exemplificar, retomemos o exemplo dado por:
Suponha que o padeiro tenha uma suposição a priori de que a relação entre o preço do pão e a quantidade de pães vendidos é negativa, tal que o preço do pão quando sobe reduz a quantidade de pães vendidos. Essa é uma hipótese derivada da teoria econômica, mais especificamente da lei da demanda estudada em microeconomia. Ao se criar um modelo ou mesmo ao plotar essa relação, fica claro ver que a relação entre o preço do pão e a quantidade de pães vendidas é negativa, mas essa visualização por si só não nos permite inferir nada.
Através do teste de hipótese é possível verificar se a hipótese do padeiro é compatível com os dados obtidos ou não.
O teste de hipótese também é útil para casos onde se tem um valor determinado a priori pelo pesquisador. Suponha que o padeiro desconfia que a relação entre o preço do pão e a quantidade de pães vendidos é dada por um modelo onde beta = -400, ou seja, cada real a mais do pão iria reduzir em 400 a quantidade de pães vendidos. O padeiro também pode executar um teste de hipótese para verificar se isso condiz com os dados.
Também é possível fazer suposições sobre a variância, como será visto futuramente.
O método do teste de hipótese consiste na elaboração de duas hipóteses, uma nula, que será testada, que denominados por H0 e uma hipótese alternativa que será o complemento de H1.
A hipótese nula pode ser dada por uma relação de igualdade, superioridade ou inferioridade. Exemplo, considere o modelo de previsão de demanda de pães, caso o padeiro queira testar uma hipótese, ele deve formular uma hipótese nula, ele pode formar uma hipótese afirmando que (1) Beta 2 é igual a um valor fixado; (2) Beta 2 é igual ou maior que um valor fixado e (3) Beta 3 é igual ou menor que um valor fixado.
Exemplo, para a sua hipótese de Beta 2 = 400 ele poderia criar três hipóteses nulas diferentes:
O primeiro teste é chamado de teste bicaudal e o segundo e terceiro tipo de teste são chamados de testes unicaudais.
A hipótese alternativa, naturalmente será o complemento lógico para a hipótese nula, exemplo, se a hipótese nula é de que Beta 2 = -400 então a hipótese alternativa é de que Beta 2 =/= -400. E a mesma lógica se aplica aos testes unicaudais, tal que:
Os termos unicaudal e bicaudal se tornarão claros quando observamos o procedimento padrão do teste de hipótese.
Como você observa, há dois resultados possíveis e naturalmente, por se trata de uma estimativa, podemos errar. O pesquisador pode aplicar um teste e esse teste afirmar que a hipótese nula não deve ser rejeitada, e com isso há a possibilidade de ele aceitar uma hipótese que está errada. Por outro lado, ele pode rejeitar a hipótese nula com base no teste e ela estar correta. Esses são os dois tipos de erro possível, e na linguagem do teste de hipótese eles assumem o nome de erro tipo 1 e erro tipo 2, geralmente representados por alfa e beta. Para melhor entender a estrutura dos erros, suponha o seguinte teste:
A matriz dos erros é dada por:
Geralmente o erro tipo 1 é fixado pelo pesquisador. Trata-se do mesmo erro trabalhado quando trabalhamos com intervalos de confiança. O erro tipo II também pode ser trabalhado, mas geralmente não se trabalha com sua determinação na econometria. Reforço, para melhor entender a lógica do teste de hipótese busque uma literatura complementar.
Para se entender a lógica do teste de hipótese é preciso ainda ter em mente o conceito de intervalo crítico e de estatística de teste.
A estatística de teste é um variável de teste padronizada que usaremos para fazer os testes. Ela variará conforme a variável que estamos testando. A estatística de teste consiste em um valor que iremos calcular, e conforme o intervalo em que ela se encontra iremos rejeitar ou não a hipótese nula. Para analisar os estimadores de beta usaremos uma variável de teste t de student e no caso da variância, usaremos uma estatística de teste qui-qudrada.
Quanto ao intervalo crítico (geralmente chamado de região crítica), ele consiste em um determinado intervalo que servirá de critério para rejeitar a hipótese nula ou não. Caso a estatística de teste se encontre na região crítica iremos rejeitar a hipótese nula, caso contrário, não rejeitaremos. A região crítica é determinada com base na característica do teste que faremos. Em um teste bicaudal ele tem um limite inferior e um limite superior, já em um teste unicaudal ele terá somente um limite que caso a estatística de teste seja superior ou inferior, servirá de critério de rejeição. Por lógica, a região fora do intervalo de confiança é chamado de intervalo de aceitação.
Como será visto, o intervalo de rejeição é construido com base na estatística de teste e no valor fixado de alfa.
O teste de hipótese segue um roteiro padrão, que será seguido na hora de fazer os testes relevantes, que consiste essencialmente em:
1. Determinar a hipótese nula e a hipótese alternativa.
2. Fixar um valor de alfa (Erro tipo I).
3. Escolher a estatística de teste.
4. Determinar o intervalo de rejeição com base no valor do erro tipo I e da estatística de teste.
5. Calcular a estatística de teste.
6. Verificar se a estatística de teste está dentro do intervalo de rejeição. Caso a estatística de teste esteja dentro do intervalo de rejeição, rejeite a hipótese nula, caso contrário, não rejeite a hipótese nula.
Esse modelo varia conforme a abordagem utilizada.
Por fim, vale destacar que o teste de hipótese tem duas abordagens principais, uma abordagem é a chamada abordagem do intervalo de confiança e a abordagem do teste de significância.
A abordagem do intervalo de confiança consistem em rejeitar ou aceitar uma hipótese com base no intervalo de confiança de uma variável.
Para exemplificar, vamos retomar o exemplo trabalhado dos pães. Como visto em um artigo anterior, as variáveis beta tem o seguinte intervalo de confiança:
Suponha o teste dado por:
Iremos aceitar ou rejeitar a hipótese nula conforme o valor de -400 estar ou não dentro do intervalo de confiança definido. Observe que tanto para a = 1%, quanto para a = 5% ou a = 10% o valor de -400 está dentro do intervalo, tal que não rejeitaremos a hipótese nula segundo esse critério. Já caso o teste envolvesse o valor de -700 rejeitaríamos a hipótese nula, pois para nenhum valor de alfa o valor de -700 está contemplado pelo intervalo de confiança.
Ele será visto com mais detalhes mais a frente.
A segunda abordagem é a abordagem do teste de significância que consiste em utilizar uma variável de teste, por exemplo, uma variável t de student e verificar se a variável de teste se encontra dentro do intervalo de confiança, e no caso, se ela se encontrar, não iremos rejeitar a hipótese nula, e caso não se encontre, rejeitaremos a hipótese nula.
Retomando como exemplo o teste de hipótese que definimos como:
Dentro dessa abordagem, precisaríamos definir uma variável t que é dada por:
No caso do nosso modelo, o valor de beta 2 estimado será o -319,79 e o valor de beta 2 será o valor definido no teste, ou seja, -400. O desvio padrão é naturalmente o desvio padrão de beta 2, no nosso caso será 91,89. Partindo disso:
Observe que para todo valor de alfa esse valor de t se encontra dentro do intervalo de confiança, de tal maneira que não convém rejeitar a hipótese nula.
As duas abordagens são complementares e tem suas peculiaridades. Analisaremos elas ao construir testes para os estimadores de beta e para a variância. O foco principal vai ser em como construir, executar e interpretar esses testes.
No nosso artigo, aprenderemos a formular os testes de hipóteses relativos aos estimadores de beta.
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GUJARATI, Damodar N; PORTER, Dawn C. Basic Econometrics. 5ª Edição. New York. The McGraw-Hill, 2008.
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