No artigo passado apresentamos o Modelo de Regressão Linear Simples Clássico Normal (MCRLN), que tem por característica trazer suposições adicionais sobre as distribuição amostral do termo de erro.
Apontamos que essa distribuição nos traz novas possibilidades de análise e expande a utilidade do modelo, e um dos pontos que é possível trabalhar a partir dessa nova perspectiva é a abordagem da Máxima Verossimilhança.
O método da Máxima Verossimilhança ou Maxime Likehood é uma abordagem alternativa ao Método dos Mínimos Quadrados Ordinários, que parte de uma abordagem diferente do MQO, trabalhando com hipóteses sobre a distribuição do termo de erro.
Bom, primeiramente vamos desenvolver esse modelo e depois analisar como ele funciona.
Partindo de:
Iremos utilizar a ideia de função de possibilidade conjunta dada por:
Dada a independência entre os valores de Y (relembre o artigo sobre os pressupostos do MCRLN), passamos a ter:
Ou:
Iremos supor que cada unidade de Y segue a função de densidade individual dada por:
Substituindo a função de densidade conjunta na função de densidade individual:
Que é dado por:
Essa relação matemática chamaremos de Função de Verossimilhança que será uma função dada por Y, os betas estimados e a variância σ². Acontece que os valores de Y são observados, ou seja, dados, passamos a ter a função de verossimilhança dada pelos estimadores e pela variância, ou seja:
O método da Maxima Verossimilhança, como fica claro pelo nome, trata-se de encontrar os valores de beta e variância que maximizam a função de verossimilhança.
Antes de aplicar os métodos de otimização matemática, vamos aplicar uma transformação monotônica aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Que é o mesmo que:
Derivando:
Se igualarmos a zero, conforme os princípios da otimização, passamos a ter:
Onde beta tio é o estimador de máxima verossimilhança.
Observe um ponto importante, ao igualar a zero obtemos o seguinte par de equações:
Trata-se do mesmo par de equações obtidos no método do MQO! Isso significa que, os estimadores de beta 1 e beta 2 são iguais em ambos os métodos, tal que, tanto faz aplicar o MQO ou MV para estimar os valores de beta 1 e beta 2 em uma amostra.
O ponto importante dessa abordagem reside na terceira CPO, que é dada por:
Manipulando para isolar os valores de sigma:
Esse resultado é importante. Se você lembra da formulação do modelo de MQO, você lembrará que nele a variância é dada por:
Que como foi visto, é um estimador não viesado da variância.
Se o estimador de MQO é não enviesado, portanto o estimador de MV, que tem um valor diferente é logicamente enviesado.
Para entender esse viés, vamos tirar a média do estimador de variância do método da Máxima Verossimilhança:
Como:
Logo:
Reorganizando:
Agora fica claro que o estimador é enviesado e que esse viés é mensurado pelo segundo termo da direita, dado por -(2/n)σ². Esse termo tende a 0 quando n tende ao infinito, o que afirma que esse viés some quando a amostra cresce de tamanho. Mas o fato é que para amostras pequenas ele é significante, apontando para o fato que a variância de MV é inferior a variância de MQO.
Tendo em mentes esses resultados você pode se perguntar o seguinte: "Se os estimadores são os mesmos para os betas e a variância é enviesada, por que utilizar o método da máxima verossimilhança?"
A utilidade desse método é bem mais ampla que o MQO pois ele permite estimar modelos não-lineares, enquanto o MQO geralmente não permite. Isso será explorado futuramente ao se analisar modelos não lineares.
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No próximo artigo utilizaremos os métodos de inferência estatística para analisar a regressão e testar hipóteses.
GUJARATI, Damodar N; PORTER, Dawn C. Basic Econometrics. 5ª Edição. New York. The McGraw-Hill, 2008.
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